2 đường thẳng vuông góc

thẳng CD đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB. C E A D B Toán Vẽ hai đường thẳng vuông góc 2. Vẽ đường thẳng CD đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng AB cho trước. Điểm E ở ngoài đường thẳng AB E A B Bước 1: Đặt một cạnh góc vuông của ê ke trùng với Hai đường thẳng vuông góc toán lớp 7 bài 2 giải bài tập được đăng ở chuyên mụcGiải Toán 7và biên soạn theo phần toán hình 7 thuộc SKG Toán lớp 7. Bài giải toánlớp 7được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy giỏi toán tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để 2. Vẽ hai đường thẳng vuông góc. Đề bài: Cho một điểm O và một đường thẳng a. Hãy vẽ đường thẳng a’ đi qua O và vuông góc với đường thẳng a. Bài giải: Bài toán được chia thành hai trường hợp: + Trường hợp 1: Điểm O cho trước nằm trên đường thẳng a. Cách vẽ 1. Liên hệ giữa tính song song với tính vuông góc trong hình học tập phẳng. - Khi hai đường thẳng phân biệt, cùng vuông góc với mặt đường thẳng thứ tía thì cơ hội đó, chúng sẽ tuy nhiên song cùng với nhau. - Cho hai tuyến phố thẳng tuy nhiên song, giả dụ 1 đường thẳng Thư viện tài liệu học tập, tham khảo online lớn nhất Website https //tailieu com/ | Email info@tailieu com | https //www facebook com/KhoDeThiTaiLieuCom Hoạt động cơ bản Hai đường thẳng vuông góc Toán[.] cạnh AB Đ Cạnh CD vng góc với cạnh AD Đ B Hoạt động Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc – hình học 7. Thuộc chủ đề:Giải bài tập Toán 7 Tag với:Bai 2 chuong 1 hinh hoc 7, Chuong 1 hinh hoc 7. Vay Tiền Nhanh Iphone. Định nghĩa hai đường thằng vuông góc Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 độ. Cho đoạn thẳng xx và yy cắt nhau tại giao điểm o. Nếu như đoạn xx cắt đoạn yy và trong các góc tạo thành một góc vuông góc = 90 độ thì 2 đường thẳng đó được gọi vuông góc với nhau. Ký hiệu hai đường thằng vuông góc Ký hiệu XX’ YY’ Cách vẽ hai đường thằng vuông góc. Ta dùng thước êke để vẽ hai đường thằng vuông góc, dùng thước êke bạn sẽ đo được góc vuông là 90 độ nhé. Chức minh 2 đường thẳng vuông góc Vì góc oxy kề bù với yox’ nên oxy + yox’ = 180 độ Suy ra yox’ = 180 độ – oxy = 180 – 90 = 90 oxy là góc vuông và bằng 90 độ Vì oxy và ox’y’ là 2 góc đối đỉnh Nên oxy = ox’y’ => y’ox cũng bằng 90 độ. Những cách gọi khác về 2 đường thẳng vuông góc Khi đường thẳng xx và yy’ là 2 đường thẳng vuông góc và cắt nhau tại o thì Đường thằng yy vuông góc với đường thẳng xx’ tại o Đường thẳng xx’, yy’ vuông góc với nhau tại o Đường thẳng xx’ vuông góc với đường thẳng yy’ tại o Tính chất 2 đường thẳng vuông góc Có 1 và chỉ một đường thẳng a’ đi qua điểm o và vuông góc với đường thẳng a cho trước. Tìm điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông đang xem Hệ số góc của 2 đường thẳng vuông gócBạn đang xem Hệ số góc của 2 đường thẳng vuông gócCho hai đường thẳng y = ax + b và y’ = a’x + b’Thông báo Giáo án, tài liệu miễn phí có chia sẻ tại nhóm facebook Cộng Đồng Giáo Viên Trung học cơ sở mọi người tham gia để tải tài liệu, giáo án, và kinh nghiệm giáo dục nhé!Hai đường thẳng vuông góc với nhau = đường thẳng song song với nhau a = a’ và b≠ b’.Hai đường thẳng cắt nhau a ≠ a’.Hai đường thẳng trùng nhau a = a’ và b = b’.Trong chương trình toán lớp 9, bên cạnh phần đại số thì hình học là một phần không kém quan trọng. Hình học hỗ trợ kỹ năng tư duy toán học tượng hình. Để học tốt toán cần tìm hiểu và ghi nhớ kỹ lưỡng các công thức. Hình học trong toán 9 Toán học là môn học quan trọng, cần được đầu tư kỹ lưỡng về thời gian học. Thời lượng làm bài tập chia đều cho khoảng thời gian trong ngày. Tìm kiếm thêm tài liệu để tham khảo, tìm hiểu bài tập để làm bổ sung. Bên cạnh đó kết hợp với nâng cao năng lực tự học tìm hiểu cái mới. Giải quyết các bài khó bằng phương pháp tự học, học nhóm. Lập nhóm để giúp nhau học tập hiệu quả hơn. Kết hợp vui chơi giải trí, thư giãn đầu óc. Lớp 9 là lớp cuối cấp, chuẩn bị bước vào kì thi vào lớp 10, hẳn sẽ gặp nhiều áp thể bạn quan tâm Các cách chứng minh đường trung trực và bài tập vận dụngNhưng các em chưa cần phải quá bận tâm về vấn đề này. Phía trước còn chặng đường dài học tập. Tập trung ôn luyện để chuẩn bị cho kỳ thi chuyển cấp. Nắm vững kiến thức làm tiền đề cho các cấp học sau này. Dùng kiến thức để áp dụng trong cuộc sống hằng ngày. Hai đường thẳng song song Phần hình học của chương trình toán lớp 9 gồm các kiến thức đã có từ lớp trước. Được triển khai và chuyên sâu hơn. Nội dung về không gian, hình khối. Trung điểm, tia, đường thẳng, các phương pháp chứng minh. Để làm tốt bài tập cần nắm rõ các công thức tính toán tính diện tích, thể tích. Các điều kiện để bằng nhau, giao nhau, song song, đồng dạng. Về đường thẳng có các trạng thái, trường hợp như sau vuông góc với nhau, song song với nhau, cắt nhau và cuối cùng là trùng đường thẳng được cho là vuông góc với nhau khi chỉ số a x a’= -1. Khi đó, chúng gặp nhau và tạo thành 1 góc 90 độ. Trường hợp song song là khi chỉ số a = a’ và b ≠ b’, trong trường hợp này thì 2 đường thẳng không có điểm chung và không giao nhau tại 1 số thời điểm. Khi chỉ số a ≠ a’ sẽ dẫn đến trường hợp 2 đường thẳng giao nhau. Trùng nhau ở trường hợp a = a’.Xem thêm Lý Thuyết Các Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác Lớp 9, Kèm Bài Tập Vận DụngHai đường thẳng cắt nhauHaiđường thẳng cắt nhau là dạng cơ bản của chủ đề mối quan hệ giữa hai đường đường thẳng được gọi là cắt nhau khi chúng cùng đi qua một điểm. Như vậy, vớitừng dạng toán về hai đường thẳng cắt nhau ta có cách giải khác nhau. Thứ nhất,chứng minh hai đường thẳng đã cho cắt nhau. Phương pháp làm như sauBước 1 Lập hệ phươnggiao điểm của hai đường thẳngBước 2 Tìm nghiệm của hệphương trình đó. Nếu hệ phương trình có nghiệm chứng tỏ hai đường thẳng cắtnhau. Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì hai đường thẳng không cắt nhau. Nếu hệphương trình vô số nghiệm thì hai đường thẳng trùng 3 Kết luận và kiểmtra lại thể bạn quan tâm Tính chất các đường trong tam giácĐây là phương pháp chung đối với dạng toán này. Nếu mà hai phương trình đường thẳng đã cho là hai đường thẳng cụ thể thì có thể tìm trực tiếp nghiệm. Nếu hai đường thẳng cho ở dạng tham số thì cần biện luận theo tham số. Trong nhiều trường hợp kể cả là phương trình chứa tham số nhưng vẫn tìm được giao điểm cụ thể của hai đường thẳng. Dạng toán thứ hai là chứng minh một điểm thuộc đường thẳng này cũng thuộc đường thẳng kia. Đây là dạng toán cơ bản mà tất cả học sinh đều được làm. Nó sẽ giúp học sinh hiểu rõ hơn mối quan hệ cắt nhau giữa hai đường thẳng. Phương pháp làm hết sức đơn giản. Chỉ cần thay giá trị tọa độ của điểm đã cho vào công thức hai đường thẳng. Nếu cả hai đều thỏa mãn luôn đúng thì chứng minh được bài toán. Điều này cũng có nghĩa là đây chính là giao điểm của hai đường đường thẳng vuông gócNhư chúng tôi đã trình bày ở trên, hai đường thẳng được gọi là vuông góc khi mà tích hệ số góc của chúng bằng -1. Vậy, với chuyên đề này có những dạng toán nào. Thứ nhất, chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Học sinh chỉ cần xác định đúng hệ số góc của đường thẳng. Đây là bước học sinh dễ mắc sai lầm nhất. Cần đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát thì mới được xác định hệ số góc. Khi đã có hệ số góc của hai đường thì thực hiện tích của chúng. Nếu tích thỏa mãn bằng -1 thì chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Có thể bạn quan tâm Trọng tâm là gì? Tính chất của ba đường trung tuyếnDạng toán thứ hai là tìm giá trị tham số để thỏa mãn hai đường thẳng vuông góc. Các bước làm cụ thể như sauBước 1 Xác định hệ sốgóc của hai đường thẳng theo tham sốBước 2 Lập biểu thứctích hai hệ số góc bằng -1Bước 3. Giải phương trìnhchứa tham số đã lập ở bước 2Bước 4 Kết luận và kiểmtra lại bàiHaidạng toán này là dạng cơ bản thường gặp. Tuy nhiên khi lên các lớp cao hơn độkhó cũng cao hơn hẳn. Ví dụ, chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, tìm góc tronghình khong gian,…Tóm lại, mối quan hệ giữa các đường thẳng là nền tảng cơ bản cho kiến thức nâng cao hơn. Do đó, các bạn cần nắm chắc tất cả lý thuyết liên quan đến chuyên đề này. Đồng thời cố gắng vận dụng nhanh chóng và linh hoạt để nâng cao kết quả học tập. Ví dụ 1 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\ c \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\. Hướng dẫn giải a Vì EG // AC nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {AB}\ và \\overrightarrow {AC}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right = {45^0}.\ b Vì AB // DG nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {DC}\ và \\overrightarrow {DH}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = {45^0}.\ Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác có SA = SB =SC và có \\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\ Chứng minh rằng \SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\ Hướng dẫn giải Xét các tích vô hướng \\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\ Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SC} } \right.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} - \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SB} } \rightc{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\ Theo giá thuyết \\left {\overrightarrow {SB} } \right = \left {\overrightarrow {SC} } \right\ Và \c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\ Vậy \SA \bot BC.\ Chứng minh tương tự ta có \SB\bot AC, SC \bot AB.\ Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Lời giải Ta có \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\ Và \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\ Do đó \2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\ Vậy \2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right.\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\ Hay \\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\ Tức là \PQ \bot AB.\ Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\. a Chứng minh rằng AB vuông góc CD. b Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \AB \bot IJ.\ Hướng dẫn giải a Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC \end{array}\ Mặt khác ta có \AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\ Nên \\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC = 0\ Vậy AB vuông góc với CD. b Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có \\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right\ Do đó \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\\ = \frac{1}{2}\left {\left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right\cos {{60}^0} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right\cos {{60}^0}} \right\\ = \frac{1}{2}\left {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right = 0 \end{array}\ Vậy AB và IJ vuông góc nhau. Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11 Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc Nội dung Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Toán Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, thế nào là góc giữa hai đường thẳng trong không gian và cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong bài học có đi kèm theo một vài ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn thực hành kỹ năng giải các bài tập liên quan. I. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Trong Không Gian 1. Góc giữa hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian, cho \\\\vec{u}\ và \\vec{v}\ là hai vectơ khác vectơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \\overrightarrow{AB} = \vec{u}, \overrightarrow{AC} = \vec{v}\. Khi đó ta gọi góc \\widehat{BAC} 0^0 ≤ \widehat{BAC} ≤ 180^0\ là góc giữa hai vectơ \\vec{u}\ và \\vec{v}\ trong không gian, kí hiệu là \\vec{u}, \vec{v}\ Hình Hình Câu hỏi 1 bài 2 trang 93 SGK hình học lớp 11 Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây a. \\overrightarrow{AB}\ và \\overrightarrow{BC}\ b. \\overrightarrow{CH}\ và \\overrightarrow{AC}\ Giải Tứ diện ABCD đều có các mặt là tam giác đều. Câu a \\overrightarrow{AB}\ và \\overrightarrow{BC}\ Góc giữa \\overrightarrow{AB}\ và \\overrightarrow{BC}\ là góc α và \α = 180^0 – 60^0 = 120^0\ Câu b \\overrightarrow{CH}\ và \\overrightarrow{AC}\ Góc giữa \\overrightarrow{CH}\ và \\overrightarrow{AC}\ là góc β H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên CH ⊥ AB. Xét tam giác vuông ACH tại H có \\widehat{ACH} + \widehat{CAH} = 90^0 ⇒ \widehat{ACH} = 90^0 – 60^0 = 30^0\ Nên \β = 180^0 – 30^0 = 150^0\ 2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian cho hai vectơ \\vec{u}\ và \\vec{v}\ đều khác vectơ – không. Tích vô hướng của hai vectơ \\vec{u}\ và \\vec{v}\ là một số, kí hiệu là \\vec{u}.\vec{v}\, được xác định bởi công thức \\vec{u}.\vec{v} = \vec{u}.\vec{v}.cos\vec{u}, \vec{v}\ Trường hợp \\vec{u} = \vec{0}\ hoặc \\vec{v} = \vec{0}\ ta quy ước \\vec{u}.\vec{v} = 0\. Ví dụ 1 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ \\overrightarrow{OM}\ và \\overrightarrow{BC}\. Giải Ta có \cos\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC} = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}\ \= \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}\ Hình Hình Mặt khác \\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB}\ \= \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB}^2\ Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên \\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = 0\ và \\overrightarrow{OB}^2 = 1\ Do đó \cos\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}\. Vậy \\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC} = 120^0\. Câu hỏi 2 bài 2 trang 94 SGK hình học lớp 11 Cho hình lập phương a. Hãy phân tích các vectơ \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ theo ba vectơ \\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}\. b. Tính \cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}\ từ đó suy ra \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ vuông góc với nhau. Giải Câu a Hãy phân tích các vectơ \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ theo ba vectơ \\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}\. \\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}\ \\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}\ Câu b Tính \cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}\ từ đó suy ra \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ vuông góc với nhau. \cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD}}{AC’.BD}\ \\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}\ \= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AB}\ \= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AB}\ 1 Hình lập phương nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau 1 \= \vec{0} + \overrightarrow{AD}^2 + \vec{0} – \overrightarrow{AB}^2 – \vec{0} – \vec{0} = 0 AB = AD\ \⇒ cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{AC’}.BD} = 0\ \⇒ \overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD} = 90^0\ Vậy hai vectơ trên vuông góc với nhau. II. Vectơ Chỉ Phương Của Đường Thẳng 1. Định nghĩa Vectơ \\vec{a}\ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \\vec{a}\ song song hoặc trùng với đường thẳng d Hình Hình 2. Nhận xét a. Nếu \\vec{a}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \k\vec{a}\ với \k ≠ 0\ cũng là vectơ chỉ phương của d. b. Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \\vec{a}\ của nó. c. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương. III. Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm O nào đó ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa a’ và b’ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa 1. Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b Hình Hình 2. Nhận xét a. Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. b. Nếu \\vec{u}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và \\vec{v}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và \\vec{u}, \vec{v} = α\ thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu \0^0 ≤ α ≤ 90^0\ và bằng \180^0 – α\ nếu \90^0 < α ≤ 180^0\. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \0^0\. Câu hỏi 3 bài 2 trang 95 SGK hình học lớp 11 Cho hình lập phương Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây a. AB và B’C’ b. AC và B’C’ c. A’C’ và B’C Giải Câu a AB và B’C’ Góc giữa AB và B’C’ bằng góc giữa AB và BC vì B’C’ // BC ⇒ Góc giữa AB và \B’C’ = \widehat{ABC} = 90^0\ Câu b AC và B’C’ Góc giữa AC và B’C’ bằng góc giữa AC và BC vì B’C’ // BC ⇒ Góc giữa AC và \B’C’ = \widehat{ACB} = 45^0\ Câu c A’C’ và B’C Góc giữa A’C’ và B’C bằng góc giữa AC và B’C vì A’C’ // AC ΔACB’ đều vì AC = B’C = AB’ đường chéo của các hình vuông bằng nhau ⇒ Góc giữa A’C’ và \B’C = \widehat{ACB’} = 60^0\ Ví dụ 2 Cho hình chóp có SA = SB = SC = AB = AC = a và \BC = a\sqrt{2}\. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Giải Ta có \cos\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{SC}.AB}\ \= \frac{\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{ Hình Hình \cos\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^2}\ Vì \CB^2 = a\sqrt{2}^2 = a^2 + a^2 = AC^2 + AB^2\ nên \\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = 0\. Tam giác SAB đều nên \\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{AB} = 120^0\ và do đó \\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} = = -\frac{a^2}{2}\. Vậy \cos\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2} = -\frac{1}{2}\. Do đó \\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = 120^0\. Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng \180^0 – 120^0 = 60^0\. IV. Hai Đường Thẳng Vuông Góc 1. Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \90^0\. Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b. 2. Nhận xét a. Nếu \\vec{u}\ và \\vec{v}\ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì \a ⊥ b ⇔ \vec{u}.\vec{v} = 0\. b. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Giải Ta có \\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ}\ và \\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DQ}\ Hình Hình Do đó \2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\ Vậy \2\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB}\ \= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB} = 0\ hay \\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB} = 0\ tức là PQ ⊥ AB Câu hỏi 4 bài 2 trang 97 SGK hình học lớp 11 Cho hình lập phương Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với a. Đường thẳng AB b. Đường thẳng AC Giải Câu a Đường thẳng AB Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB là AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’. Câu b Đường thẳng AC Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AC là BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’. Câu hỏi 5 bài 2 trang 97 SGK hình học lớp 11 Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau. Giải Trường hợp cắt nhau hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số. Trường hợp chéo nhau bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh. Bài Tập Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo. Bài Tập 1 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a. \\vec{AB}\ và \\vec{EG}\ b. \\vec{AF}\ và \\vec{EG}\ c. \\vec{AB}\ và \\vec{DH}\ Bài Tập 2 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 Cho tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng \\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC} = 0.\ b. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC. Bài Tập 3 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 a. Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không? b. Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không? Bài Tập 4 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng a. AB ⊥ CC’. b. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài Tập 5 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Cho hình chóp tam giác có SA = SB = SC và có \\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}\. Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. Bài Tập 6 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng AB ⊥ Ô’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật. Bài Tập 7 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng \S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2- \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}^2}.\ Bài Tập 8 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^0\. Chứng minh rằng a. AB ⊥ CD b. Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD. Lời Kết Nội dung bài học nhắc đến các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Cùng với đó là tích vô hướng của hai vectơ và hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Ở trên là nội dung Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Toán Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, thế nào là góc giữa hai đường thẳng trong không gian và cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong bài học có đi kèm theo một vài ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn thực hành kỹ năng giải các bài tập liên quan. Bài Tập Liên Quan Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 11 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương III – Hình Học Lớp 11 Câu Hỏi Ôn Tập Chương III – Hình Học Lớp 11 Bài 5 Khoảng Cách Bài 4 Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Bài 3 Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Bài 1 Vectơ Trong Không Gian Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian, các trường hợp tính cụ thể, kèm bài tập ví dụ chi tiết. Tính dựa vào vector chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường đường thẳng d1,d2. lần lượt là vector chỉ phương của d1;d2 Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Tính dự vào vector pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng bằng góc giữa 2 vector pháp tuyến của 2 đường thẳng đó. Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1,d2. Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Lưu ý góc giữa 2 đường thẳng trong không gian không được tính bằng vector pháp tuyến như trong mặt phẳng. Một số ví dụ minh họa Trên đây là những chia sẻ về góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé Bài toán hình học hai đường thẳng vuông góc là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi. Biết được tầm quan trọng của nó, VUIHOC viết bài này một cách chi tiết nhất giúp các em có thể nắm bắt phần kiến thức này một cách hiệu quả nhất 1. Lý thuyết về tích vô hướng của hai vectơ Góc giữa hai vectơ Góc giữa 2 vectơ trong không gian được định nghĩa hoàn toàn tương tự góc giữa hai vectơ trong mặt phẳng. Nếu ít nhất một trong hai vectơ là vectơ không thì góc giữa hai véc tơ đó không xác định đôi khi một số tài liệu cũng coi góc giữa hai véc tơ đó bằng 0. Còn trong trường hợp cả 2 véc tơ đều khác véc tơ không thì ta tiến hành đưa về chung gốc. Trong không gian cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$. Lấy A là một điểm bất kì, gọi B là điểm sao cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ là điểm sao cho. Khi đó góc $\widehat{BAC}$ được gọi là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$. Rõ ràng từ định nghĩa trên ta suy ra được góc giữa hai véc tơ có một số tính chất. Chẳng hạn Góc giữa hai véc tơ bằng 0º khi và chỉ khi hai véc tơ đó cùng chiều. Góc giữa hai véc tơ bằng 180º khi và chỉ khi hai véc tơ đó ngược chiều. Góc giữa hai véc tơ bằng 90º khi và chỉ khi hai véc tơ đó vuông góc. Cách tính góc giữa 2 vecto trong Oxyz Áp dụng công thức tính góc giữa hai vecto giúp bạn có thể tính được các bài toán cơ bản một cách nhanh chóng nhất. Dưới đây là công thức tổng quát ứng dụng cho các vecto trong không gian. Để tính được góc giữa hai vecto, sử dụng công thức sau để tính cosin của góc rồi từ đó đổi thành số đo nếu đề bài yêu cầu. Cho hai vecto $\vec{u}\vec{x}; \vec{y}; \vec{z}$ và $\vec{v}\vec{x'}; \vec{y'}; \vec{z'}$, góc giữa hai vecto $\vec{u}, \vec{v}$ được tính theo công thức $cos\vec{u};\vec{v}= \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\left \vec{u} \right .\left \vec{v} \right }=\frac{ Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Tích vô hướng của hai vecto trong không gian hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng. Ở đây chúng ta chỉ đề cập đến công thức tính tích vô hướng 2 véc tơ bằng tọa độ. Công thức tích vô hướng Cho hai vecto $\vec{a}=x_{1};y_{1};z_{1} , \vec{b}=x_{2};y_{2};z_{2}$. Khi đó Tích vô hướng của hai vecto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là $\vec{a}.\vec{b}=x_{1}.x_{2}+y_{1}.y_{2}+z_{1}.z_{2}$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng - Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm gốc và điểm ngọn của vectơ đó. - Cho đường thẳng d. Ta có vecto $\vec{u}$ khác vecto 0 được gọi là vectơ chỉ phương VTCP của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với d. - Nếu là VTCP của d thì $k.\vec{u}$ cũng là VTCP của d. - VTCP và VTPT vuông góc với nhau. Nên suy ra ta có Nếu $\vec{u}=a, b$ Thì $\vec{n}= -b . a$ Đây chính là cách chuyển từ VTCP sang VTPT và ngược lại. - Như vậy ta có thể dễ dàng xác định được đường thẳng khi biết một điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng đó. Góc giữa hai đường thẳng Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1, d2. Gọi $\vec{u_{1}}=a_{1}; b_{1}; c_{1},\vec{u_{2}}=a_{2}; {b_{2}}; c_{2}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $d_{1}, d_{2}$ Khi đó, cosin của góc giữa hai đường thẳng này được tính theo công thức $Cos d_{1}, d_{2} = \left cos\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}} \right = \frac{u_{1}.u_{2}}{u_{1}.u_{2}} = \frac{\left a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}+c_{1}.c_{2} \right }{\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}.\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}}}$ 2. Hai đường thẳng vuông góc với nhau Cùng tìm hiểu hai đường thẳng vuông góc lớp 11 với định nghĩa và tính chất của nó nhé! Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90o. Tính chất Tính chất hai đường thẳng vuông góc được trình bày như sau Cho hai đường thẳng a và b có vecto chỉ phương lần lượt là $\vev{u_{1}} , \vec_{u_{2}}$ - Ta có a vuông góc với b khi và chỉ khi tích vô hướng của vecto chỉ phương hai đường thẳng bằng 0 $\vec{u_{1}}.\vec{u_{2}}=0$. - Nếu a / / b mà c ⊥ a thì c ⊥ b - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. 3. Các dạng toán về hai đường thẳng vuông góc Dạng 1 Tính góc giữa hai đường thẳng Để tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cách - Cách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng $d_{1}; d_{2}$ bằng cách chọn một điểm O thích hợp O thường nằm trên một trong hai đường thẳng. Từ O dựng các đường thẳng d1, d2 lần lượt song song có thể tròng nếu O nằm trên một trong hai đường thẳng với d1 và d2. Góc giữa hai đường thẳng d1, d2 chính là góc giữa hai đường thẳng d1, d2. Lưu ý Để tính góc này ta thường sử dụng định lí cosin trong tam giác $cosA= \frac{b^{2}+c^{2} -a^{2}}{2bc}$ - Cách 2 Sử dụng công thức tính cosin góc giữa hai đường thẳng biết hai véc tơ chỉ phương của chúng. $cos\varphi =\left cos\vec{u}, \vec{v} \right =\frac{\vec{u}. \vec{v}}{\left \vec{u} \right .\left \vec{v} \right }$ Ví dụ 1 Tính góc giữa hai đường thẳng 3x + y - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0. A. 30⁰ B. 60⁰ C. 90⁰ D. 45⁰ Đường thẳng 3x + y - 8 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n}_{a} = 3;1$ Đường thẳng 4x − 2y + 10 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n}_{b} = 4;-2$ $cosd_{1},d_{2}=\left cos\vec{n_{1};\vec{n_{2}}} \right =\frac{\left \vec{n_{1}}. \vec{n_{2}} \right }{\left \vec{n_{1}} \right .\left \vec{n_{2}} \right }=\frac{\left \right }{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{4^{2}+-2^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ => d1,d2 = 45o Ví dụ 2 Tính góc giữa 2 đường thẳng a 3x + y− 2 = 0 và b 2x −y + 39 = 0 Hướng dẫn giải Đường thẳng 3x + y − 2 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n_{a}} = 3;1$ Đường thẳng 2x − y +39 = 0 có vector pháp tuyến $\vec{n_{b}} = 2;-1$ $cosa,b=\left cos\vec{n_{a};\vec{n_{b}}} \right =\frac{\left \vec{n_{a}}. \vec{n_{b}} \right }{\left \vec{n_{a}} \right .\left \vec{n_{b}} \right }=\frac{\left \right }{\sqrt{3^{2}+1^{2}}.\sqrt{2^{2}+-1^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ => a,b = 45o Dạng 2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là u và v. Ta áp dụng một số cách sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc 1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng. - từ vuông góc tới song song, - đường trung trực , đường cao, - định lý Pitago đảo - tính độ dài đoạn thẳng, diện tích của một đa giác 2. Sử dụng định nghĩa góc của 2 đường thẳng trong không gian Hai đường thẳng a và b được gọi vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90º. 3. Sử dụng công thức $cos\vec{u}, \vec{v}$ với $\vec{u}, \vec{v}$ là vecto chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. - Nếu $\vec{u}, \vec{v}$ 90º thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng 180 - $cos\vec{u}, \vec{v}$ 4. Ta chứng minh tích vô hướng $\vec{u}.\vec{v} = 0$ trong đó $\vec{u}$ và $\vec{v}$ lần lượt là vector chỉ phương của a và b 5. Chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng P chứa đường thẳng b. 6. Sử dụng hệ quả của định lý cosin Trong tam giác ABC với AB = c; AC = b; BC = a Ta có định lý cosin như sau $a^{2}=b^{2}+c^{2} $b^{2}=a^{2}+c^{2} $c^{2}=a^{2}+b^{2} Từ đó suy ra $cosA = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ $cosB = \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ $cosC = \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ Hệ quả này có ý nghĩa rất quan trọng "Trong một tam giác ta luôn tính được các góc nếu biết 3 cạnh". Ví dụ 3 Cho hình chóp có SA=SB=SC và $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}$. Chứng minh rằng SA ⊥ BC Giải Xét $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SB} = \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC} - \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}$ $= \left \overrightarrow{SA} \right .\left \overrightarrow{SC} \right cos \widehat{ASC} - \left \overrightarrow{SA} \right .\left \overrightarrow{SB} \right cos \widehat{ASB} = 0$ => SA ⊥ BC Ví dụ 4 Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh AB vuông góc với CD. Giải Lấy M là trung điểm của CD. Vì $\Delta$ACD đều nên AM ⊥ CD $\Rightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD} = 0$ Tương tự có $\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{CD}=0$ Vì thế, ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\Leftrightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CD}=0+0=0$ Suy ra AB ⊥ CD 4. Bài tập vận dụng Câu 1 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. C. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau. D. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau. Đáp án đúng C Phần dẫn ví dụ 2 là câu hỏi. phương án A và B sai vì hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Phương án C đúng vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì phương của chúng song song với nhau. Phương án D sai vì hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì có thể song song hoặc trùng nhau. Câu 2 Các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì A. thuộc một mặt phẳng B. vuông góc với nhau C. song song với một mặt phẳng D. song song với nhau Đáp án đúng C Phương án A sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng nằm trên nhiều mặt phẳng khác nhau Phương án B sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng song song với nhau Phương án D sai vì có thể xảy ra trường hợp chúng cắt nhau Phương án C đúng vì chúng đồng phẳng Câu 3 Cho một hình tứ diện ABCD, được biết AB = CD = a, $IJ = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ trong đó I và J lần lượt là các trung điểm của đoạn BC và AD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD là A. 30° В. 45° C. 60° D. 90° Hướng dẫn giải Đáp án đúng C Giả sử M và N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AC và BC. Та сó $\left\{\begin{matrix} MI=NI=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD=\frac{a}{2}\\ MI//AB//CD//NI \end{matrix}\right.$ → MINJ là hình thoi. Gọi O là giao điểm của MN và IJ. Ta có $\widehat{MIN} = 2 \widehat{MIO}$ Xét ΔMIO vuông góc tại góc O , ta có $cos \widehat{MIO} = \frac{IO}{MI} = \frac{\frac{a\sqrt{3}}{4}}{\frac{a}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{2}$ => $\widehat{MIO}$ = 30° → $\widehat{MIN}$ = 60° Mà AB, CD = IM,IN = $\widehat{MIN}$ = 60° Câu 4 Cho hình chóp có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc bằng MN, SC A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° Giải Câu 5 Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c. Khẳng định nào sau đây đúng? A. Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a // b. B. Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b. C. Nếu góc giữa a và c bằng góc giữa b và c thì a // b. D. Nếu a và b cùng nằm trong mpa//c thì góc giữa a và c bằng góc giữa b và c. Đáp án B Giải thích Nếu a và b cùng vuông góc với c thì a và b hoặc song song hoặc chéo nhau. C sai do Giả sử hai đường thẳng a và b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c là đường vuông góc chung của a và b. Khi đó góc giữa a và c bằng với góc giữa b và c và cùng bằng 90°, nhưng hiển nhiên hai đường thẳng a và b không song song. D sai do giả sử a vuông góc với c, b song song với c, khi đó góc giữa a và c bằng 90°, còn góc giữa b và c bằng 0°. Do đó B đúng. Câu 6 Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD. Mặt phẳng P song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình thang. B. Hình bình hành. C. Hình chữ nhật. D. Tứ giác không phải là hình thang. Giải Hướng dẫn giải Ta có $\left\{\begin{matrix} MNPQ//AB \\ MNPQ\cap ABC=MQ \end{matrix}\right.$ => MQ // AB. Tương tự ta có MN // CD, NP // AB, QP // CD. Do đó tứ giác MNPQ là hình bình hành lại có MN ⊥ MQ do AB ⊥ CD. Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Đáp án đúng C Câu 7. Cho tứ diện ABCD có AB = CD. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm của AC, BC, BD, AD. Góc giữa IE, JF bằng A. 30o B. 45o C. 60o D. 90o Giải Từ giả thiết ta có - IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ // AB; IJ = ½ AB - EF là đường trung bình của tam giác ABD nên EF // AB; EF = ½ AB $EF//AB;EF=\frac{1}{2}AB$ - Suy ra tứ giác IJEF là hình bình hành 1 - Lại có IF là đường trung bình của tam giác ACD nên $IF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$ vì AB = CD 2 - Từ 1 và 2 suy ra tứ giác IJEF là hình thoi. ⇒ IE ⊥ JF tính chất hai đường chéo của hình thoi. ⇒ Do đó, góc giữa hai đường thẳng IE và JF là 90°. Đáp án đúng D Câu 8. Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi lần lượt M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’ và C’A. Tứ giác MNPQ là hình gì? A. Hình bình hành. B. Hình chữ nhật. C. Hình vuông. D. Hình thang. Hướng dẫn giải Ta thấy - MN // PQ // AB - NP // MQ // CC’ MNPQ là hình bình hành Gọi H là trung điểm của AB. Vì hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB nên - CH ⊥ AB - C'H ⊥ AB Suy ra AB ⊥ CHC' Do đó AB ⊥ CC' Ta lại có - PQ // AB - PN // CC’ - AB ⊥ CC’ $\Rightarrow$ PQ ⊥ PN Mà MNPQ là hình bình hành chứng minh trên Kết luận tứ giác MNPQ là hình chữ nhật Đáp án đúng B Câu 9. Cho tứ diện ABCD với $AC = \frac{3}{2}AD, \widehat{CAB}=\widehat{DAB}=60^{o}, CD = AD$. Gọi $\varphi$ là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng ? A. cos$\varphi$ = 3/4 B. $\varphi$= 60o C. $\varphi$= 30o Hướng dẫn giải Ta có $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AC}$ $= \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AD }- \overrightarrow{AB }. \overrightarrow{AC}$ = - = ½ - ½ = AB/2. AD - AC = -¼ = -¼ 1 Lại có $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$ = }. \overrightarrow{CD}$ 2 Từ 1 và 2 => cos $\overrightarrow{AB }. \overrightarrow{CD}$ = -¼ => cos$\varphi$=1/4 Đáp án đúng D Câu 10. Cho hình chóp có SA = SB = SC và $\widehat{ASB} =\widehat{BSC}=\widehat{CSA}$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{SB}$ và $\overrightarrow{AC}$ ? A. 60o B. 120o C. 45o Giải Chọn D Ta có SA = SB = SC nên $\Delta SAB=\Delta SBC=\Delta SCA$ c- g-c $\Rightarrow$ AB = BC = CA - Do đó, tam giác ABC đều. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. - Vì hình chóp có SA = SB = SC nên hình chiếu của S trùng với G. Hay SG ⊥ ABC. Ta có - AC ⊥ BG - AC ⊥ SG $\Rightarrow$AC ⊥ SBG Suy ra AC ⊥ SB - Vậy góc giữa cặp vectơ SB và AC bằng 90o Hai đường thẳng vuông góc trong chương trình toán 11 là phần kiến thức rất quan trọng, là tiền đề cho các dạng toán sau này. VUIHOC đã trình bày chi tiết về lý thuyết cũng như bài tập vận dụng về hai đường thẳng vuông góc giúp các em ôn tập dễ dàng hơn. Để tìm hiểu về các bài viết hay khác, các em có thể truy cập vào để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ ngay trung tâm hỗ trợ ngay để ôn tập được thật nhiều kiến thức nhé!

2 đường thẳng vuông góc